Portata e legge di continuità

[Gi Zeta]

Abbiamo iniziato da poco la Fluidodinamica e, più nello specifico, i tre "tipi" di portata: massica, volumica e ponderale. Abbiamo altresì visto come sia possibile ricavare la portata massica da quella volumica ( m/t -> ρ*v/t -> ρ*v/t) e a sua volta quella ponderale da quella massica (W/t -> m*g/t -> m/t*g).
La prof, però, ha accennato al fatto che sia possibile ricavare queste "formule" (o le definizioni, non so bene) dalla legge di continuità (equazione di continuità) dei fluidi; qualcuno potrebbe spiegarmi il modo e il motivo (se non vi spiace accennate anche la legge di continuità...)?

p.s. Scusate per le formule scritte "un po' così", ma non so come fare altrimenti.

p.p.s. Spero di non aver sbagliato sezione, nel caso mi scuso anticipatamente.

[MatteF88]

Probabilmente vi ha solo accennato l'eq di continuità perchè non avete ancora fatto le derivate parziali (o le avete fatte?)..comunque appena riesco cerco di postarti qualche pezzo delle mie dispense di fluidodinamica dell'università!

[Luke3]

Non ho capito bene la domanda ma provo ad interpretare

L'equazione di continuita' dice che, dato un volume di controllo (a nostra scelta, puo' essere ad esempio un cubo) nel flusso, il rateo di cambiamento del volume di fluido dentro questo volume di riferimento deve essere uguale al rateo netto del flusso di massa che entra attraverso la superficie di questo volume (flusso che esce - flusso che entra).

La massa di fluido all'interno di questo volume si puo' trovare facendo il triplo integrale reltativo al volume di controllo della densita' moltiplicata per un volume infinitesimo (triplo integrale di [rho]*dV).
Il rateo di cambiamento di questa massa si trova semplicemente differenziando l'espressione precedente. Questo e' uguale al rateo di influsso netto di massa attraverso la superficie, che sempre in termini di integrali e' il doppio integrale di densita' * componente della velocita' perpendicolare alla superficie * elemento infinitesimo di superficie (doppio integrale di [rho]*[v . n]*dS dove v e' il vettore velocita' e n il vettore normale alla superficie che ci interessa). Se il flusso e' stabile (non varia con il tempo) allora entrambe le quantita' sono uguali a zero.

Riducendo il tutto a una dimensione l'equazione di continuita' si semplifica ancora, diventando semplicemente:
[rho1]*v1*A1 = [rho2]*v2*A2 dove rho v e A sono densita', velocita' e area all'ingresso e all'uscita del volume di controllo che abbiamo scelto. Da qui' si possono tirare fuori le equazioni che hai scritto tu.

Spero di non essere stato troppo contorto (e di aver capito la domanda) ma e' difficile spiegare tutto in parole senza avere le equazioni scritte bene (ci vorrebbe un modo per inserirle), e mi scuso se ci sono imprecisioni nella traduzione ma l'ho studiato tutto in inglese

[bulldog89]

Immagina la sezione di un tubo rettilineo con del fluido in moto da sinistra verso destra (a regime) al suo interno e prendine una fettina: la legge di continuità dice che se mi metto sul bordo sinistro della fettina (che da adesso chiameremo 1) e misuro la portata (che indicheremo con M), tale portata sarà uguale a quella che misurerò sul bordo destro (che chiamiamo 2).

Quindi: M1=M2=M su ogni fettina del tubo.

La massa (m) possiamo esprimerla come rho (densità volumetrica) per il volume di fluido contenuto nella fettina (che chiamiamo V). m=rho*V.

V però è pari alla sezione della fettina (che chiamiamo A ed è l'area ortogonale al moto del fluido) per la lunghezza della fettina (l). Quindi V=A*l da cui deriva m=rho*A*l.

La portata non è altro che la derivata della massa nel tempo, quindi M=(dm)/dt che se ipotizziamo rho ed A costanti in quanto il tubo è rettilineo diventa: M=d(rho*A*l)/dt=rho*A*[dl/dt].

dl/dt corrisponde alla lunghezza infinitesima percorsa dal fluido (dl) nel tempuscolo dt, quindi è la velocità del fluido (che chiamiamo w).

quindi M=portata=dm/dt=rho*A*w=costante

edit: ma parliamo a livello di scuola superiore o università?

[Luke3]

Come l'hai messa tu e' ancora piu' semplice, mi devo imparare a spiegare in maniera concisa

[bulldog89]

Come l'hai messa tu e' ancora piu' semplice, mi devo imparare a spiegare in maniera concisa

Sì è colpa mia, credevo fosse uno studente delle superiori ma non so...

[Gi Zeta]

[...]ma parliamo a livello di scuola superiore o università?

Scuola superiore.

@Luke3

Sono rimasto così ( ) quando ho letto il tuo post, non perchè sia spiegato male, anzi, ma perchè credo di non avere le basi per capire questi concetti ad un tale livello.

@bulldog89

Pressappoco ho capito, a parte le ultime righe in cui si parla di derivate, di cui non possiedo neanche le basi.

p.s. Parli di portata massica, volumica o ponderale?

@MatteoF88

[...]perchè non avete ancora fatto le derivate parziali (o le avete fatte?)[...]

No, purtroppo non le abbiamo ancora fatte.

p.s. Grazie a tutti per le risposte.

[MatteF88]

se può esserti d'aiuto..

[Luke3]

No figurati, mi scuso io anzi, ho fatto l'errore che fanno spesso i miei professori, assumendo la conoscienza di certi principi, e sono partito dal caso piu' generale con un flusso in 3 dimensioni, vettori e tutto il resto.
Lasciando stare l'analisi matematica il concetto e' piu' o meno questo.

Prendiamo un tubo orizzontale con fludo che va da sinistra verso destra. L'equazione di continuita' ci dice che la massa di fluido che entra da sinistra deve essere uguale alla massa che esce da destra. Quindi il prodotto di densita', velocita' e area dell'apertura del tubo ([rho] * v * A) all'ingresso deve essere uguale a quello dell'uscita. Se anche la densita' e' costante allora ci basta che il volume di fluido che entra da sinistra sia uguale a quello che esce da destra (eliminando del tutto la densita' dal calcolo, tanto e' costante).

Per questo motivo, se hai un tubo che e' piu' largo a sinistra che a destra, il fluido uscira' con una velcita' maggiore di quando sia entrato, per mantenere costante la portata.

Il problema con questo approccio e' che tratti il tubo come una specie di "scatola nera", ossia puoi sapere cosa succede all'ingresso e all'uscita ma non quello che accade dentro. Per farlo ti serve l'equazione di continuita' in termini di equazioni differenziali, al quale stava arrivando bulldog alla fine.

[bulldog89]

Pressappoco ho capito, a parte le ultime righe in cui si parla di derivate, di cui non possiedo neanche le basi.

p.s. Parli di portata massica, volumica o ponderale?

Credo che corrisponda alla tua massica.

Ci provo senza derivate: Se il fluido fosse fermo tagliando la fettina di tubo la quantità che si conserverebbe sarebbe la massa di fluido, quindi m=rho*A*l.

Visto che il fluido è in movimento ha più senso riferirsi alla quantità di massa transitante in un certo lasso di tempo, cioè la portata. Quindi al posto di m dovrò usare M e al posto della lunghezza utilizzerò una velocità: la velocità è lo spazio percorso l nel tempo (tf-t0), quindi M=rho*A*[l/(tf-t0)]. Ma l/(tf-t0) è la velocità media nel lasso di tempo: per ottenere la velocità istantanea dovrò minimizzare tf-t0, cioè farla tendere al numero con modulo più piccolo che tu possa immaginare. Tale valore lo chiameremo dt e lo puoi interpretare come un valore vicinissimo a 0 ma non ancora nullo, in questo modo otteniamo w=l/dt che è la definizione di velocità istantanea.

Ma allora significa che M=rho*A*w che è esattamente la portata che vedresti passare dalla fettina di tubo in un istante infinitesimo di tempo, come se scattassi una fotografia.

Scusa ma senza derivate lo trovo molto difficile da spiegare.

[Gi Zeta]

M=rho*A*[l/(tf-t0)]

Benissimo, perchè eseguendo l' analisi dimensionale: [kg/m^3]*[m^2]*[m/s] e semplificando [kg/s], che è "la definizione", l' espressione per meglio dire, della portata massica (rapporto fra la massa del fluido in transito attraverso una generica sezione di un tubo e il tempo impiegato per attraversarla).

Adesso voglio provare da solo a ricavare la portata volumica (in volume) e quella ponderale (in peso), poi posterò i risultati per vedere se sono corretti.

@Luke3

Quindi il prodotto di densita', velocita' e area dell'apertura del tubo ([rho] * v * A) all'ingresso deve essere uguale a quello dell'uscita. Se anche la densita' e' costante allora ci basta che il volume di fluido che entra da sinistra sia uguale a quello che esce da destra (eliminando del tutto la densita' dal calcolo, tanto e' costante).

Per questo motivo, se hai un tubo che e' piu' largo a sinistra che a destra, il fluido uscira' con una velcita' maggiore di quando sia entrato, per mantenere costante la portata.

Una breve spiegazione di Venturi, ottimo!

@MatteF88

Darò un' occhiata, anche se non credo di capirci molto, al massimo li riprenderò in mano dopo aver studiato derivate e integrali.

p.s. Quasi quasi dimenticavo di dire che sono riuscito a capire benissimo le spiegazioni e trovare le risposte ai miei quesiti. Vi ringrazio tantissimo .

[bulldog89]

@Luke3

Quindi il prodotto di densita', velocita' e area dell'apertura del tubo ([rho] * v * A) all'ingresso deve essere uguale a quello dell'uscita. Se anche la densita' e' costante allora ci basta che il volume di fluido che entra da sinistra sia uguale a quello che esce da destra (eliminando del tutto la densita' dal calcolo, tanto e' costante).

Per questo motivo, se hai un tubo che e' piu' largo a sinistra che a destra, il fluido uscira' con una velcita' maggiore di quando sia entrato, per mantenere costante la portata.

Una breve spiegazione di Venturi, ottimo!

Occhio che se il moto è supersonico in condotto convergente la velocità diminuisce.

[ciccioxx92]

@Luke3

Quindi il prodotto di densita', velocita' e area dell'apertura del tubo ([rho] * v * A) all'ingresso deve essere uguale a quello dell'uscita. Se anche la densita' e' costante allora ci basta che il volume di fluido che entra da sinistra sia uguale a quello che esce da destra (eliminando del tutto la densita' dal calcolo, tanto e' costante).

Per questo motivo, se hai un tubo che e' piu' largo a sinistra che a destra, il fluido uscira' con una velcita' maggiore di quando sia entrato, per mantenere costante la portata.

Una breve spiegazione di Venturi, ottimo!

Occhio che se il moto è supersonico in condotto convergente la velocità diminuisce.

I ricordi dell'ugello di de Laval...

[Gi Zeta]

Occhio che se il moto è supersonico in condotto convergente la velocità diminuisce.

Presterò attenzione, grazie per la segnalazione.

In ogni caso, ho ricavato questo:

V= A*l = A*l/[df-d0] = V/df-d0 = V/t

P= rho*A*l*g = rho*A*[l/df-d0]*g = rho*[V/df-d0]*g = [m/df-d0]*g = P/df-do = P/t

Entrambe le espressioni sono corrette, l' unico dubbio rimane sulla parte teorica.
Per arrivare a queste formule ho pensato: per l' equazione di continuità il quantitativo di liquido che entra da una parte del tubo deve uscire inalterato da quella opposta, di conseguenza se io calcolo il volume della sezione d' entrata del tubo, praticamente sto calcolando anche il volume di fluido che passerà in una determinata sezione in un dato tempo (portata volumica, appunto), con la dovuta trasformazione di lunghezza in velocità, essendo uno spazio fratto un tempo.

Per la portata ponderale il discorso è analogo a quello per la portata massica fatto da Bulldog sopra, tranne per il fatto di dover aggiungere all' espressione la forza di gravità.

Ho capito bene o sono completamente fuori strada?

p.s. Ho un dubbio per quanto riguarda la portata volumica: l' equazione di continuità afferma che la portata del fluido all' interno del tubo rimane costante, ma se il fluido passa all' interno di una strozzatura il suo volume diminuisce, quindi non è più costante la portata in volume...

[bulldog89]

Secondo me hai capito molto bene il concetto, c'è da mettere a posto la notazione ma non so quanto sia importante per i tuoi scopi.

Per la strozzatura hai capito bene: la portata volumica è la massica fratto la densità rho. Rho in una strozzatura non è costante, quindi anche la portata volumica non lo sarà. E' tutto dimostrabile in formule ma senza derivate è un suicidio...

Spero di non aver scritto stronzate in quanto ho un lieve mal di testa

[MatteF88]

p.s. Ho un dubbio per quanto riguarda la portata volumica: l' equazione di continuità afferma che la portata del fluido all' interno del tubo rimane costante, ma se il fluido passa all' interno di una strozzatura il suo volume diminuisce, quindi non è più costante la portata in volume...

Per la strozzatura hai capito bene: la portata volumica è la massica fratto la densità rho. Rho in una strozzatura non è costante, quindi anche la portata volumica non lo sarà

@Gi Zeta: Per curiosità, visto che poi si andrebbe uno o due passi oltre visto che ci sono di mezzo delle derivate (anche se queste sono molto semplici), potresti dare un occhiata alle equazioni di hugoniot che esprimono la variazione di volume (e quindi di densità) in funzione del restringimento o dell'apertura del condotto e in funzione del numero di mach...
Ad esempio in caso di espansione (dV)/V >0 con flusso subsonico (M<1) allora (dA)/A <0 cioè la sezione del condotto diminuisce

[Gi Zeta]

Rho in una strozzatura non è costante, quindi anche la portata volumica non lo sarà.

Giusto.
Il mio errore è stato quello di considerare separate le "tre portate", è impossibile separare il volume di un liquido dalla sua massa o la sua massa dal suo peso.

E' tutto dimostrabile in formule ma senza derivate è un suicidio...

Allora sarebbe il caso di dire: "Ci risentiremo"
Non credo manchi troppo ad arrivare alla studio delle derivate, ora come ora siamo al dominio di una funzione.

@MatteoF88

Per curiosità, visto che poi si andrebbe uno o due passi oltre visto che ci sono di mezzo delle derivate (anche se queste sono molto semplici), potresti dare un occhiata alle equazioni di hugoniot [...]

Intendi questo?

p.s. Rinnovo i ringraziamente a tutte le persone che mi hanno risposto e hanno soddisfatto le mie curiosità.

[MatteF88]

No intendo questo!
http://dida.fauser.edu/aero/quarta/altavelo/equcar.htm

Subito ti sembrerà arabo ma poi quando trae le conclusioni a metà pagina sarà tutto chiaro!

[bulldog89]

Prego, a disposizione.

[Gi Zeta]

In questi giorni sto ripassando un po' di termodinamica, elemento necessario per la comprensione del teorema di Bernoulli. Dato che ho rivisto i vari tipi di energia (Cinetica, potenziale, di pressione, interna, ecc.), ho deciso di riprendere in mano il documento "postatomi" da MatteF88 qualche post fa (questo): a grandi linee ho capito il concetto principale, ma vorrei capire nel dettaglio i passaggi matematici svolti e il perchè li svolge (es. perchè differenzia all' inizio). Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Inoltre, potreste scrivermi le conclusioni in modo più chiaro (es. se il moto è supersonico, in un condotto convergente, la pressione aumenta e la velocità diminuisce, ecc.)?

[bulldog89]

Sinceramente non so come spiegare i passaggi matematici....all'inizio differenzia perchè ha come obiettivo esplicitare le variazioni di rho, A, v ed M, quindi deve scrivere una variazione infinitesima della grandezza (che sarebbe per l'appunto la derivata) e vedere come cambia in seguito ad una variazione degli altri parametri.

In un condotto convergente con fluido subsonico:
-Pressione: diminuisce
-Densità: diminuisce (quindi si espande)
-Velocità: aumenta

In un condotto convergente con fluido supersonico:
-Pressione: aumenta
-Densità: aumenta (quindi si comprime)
-Velocità: diminuisce

Per il condotto divergente inverti tutto.

ps: ma avete fatto le derivate

[Gi Zeta]

ps: ma avete fatto le derivate

No, ma da quello che ho visto non ne fa larghissimo uso (difatti il 70% dei passaggi l' ho capito senza problemi, complice anche il fatto di aver rivisto da poco il principio di conservazione dell' energia).
Gli unici problemi, come appunto dicevo, sono nel momento in cui differenzia e in altri piccoli dettagli (es. quando divide la somma di energia per il volume di fluido e poi la moltiplica per la portata massica [roh*V*S], e non ne capisco il motivo).

[bulldog89]

Sono tutti trucchetti matematici perchè vuole arrivare ad un determinato punto.

Nel caso da te specificato divide per il volume per tirarsi fuori la densità, così poi può moltiplicare e tirarsi fuori la portata massica che sappiamo essere costante. Così facendo può affermare che l'energia totale per unità di massa rimane costante...(io personalmente avrei fatto in un altro modo)

Comunque senza aver fatto le derivate non ci capirei una mazza, se hai bisogno di chiarimenti in punti specifici posta pure

[Gi Zeta]

No, dai, per ora mi accontento di questo:

In un condotto convergente con fluido subsonico:
-Pressione: diminuisce
-Densità: diminuisce (quindi si espande)
-Velocità: aumenta

In un condotto convergente con fluido supersonico:
-Pressione: aumenta
-Densità: aumenta (quindi si comprime)
-Velocità: diminuisce

Per il condotto divergente inverti tutto.

Ho trovato un sito carino di matematica, credo proprio che studierò da solo limite e derivate (tanto sulle funzioni sono abbastanza ferrato), altrimenti non capisco nulla di questi argomenti.
Piuttosto, se ho una combinazione di queste "tipologie" di condotti (es. per un tratto convergente e subito dopo divergente), le caratteristiche (pressione e velocità) del fluido si adatteranno ai vari tratti o assumono delle caratteristiche particolari?

[bulldog89]

Le relazioni che ti ho scritto valgono sempre. In tratti successivi parti da dove conosci il numero di Mach ed inizi lo studio. E' obbligatorio valutare sempre il numero di Mach in corrispondenza del cambio di condotto (convergente/divergente, divergente/convergente) perchè come abbiamo visto i comportamenti sono opposti (tra supersonico e subsonico).

Ad esempio se voglio un ugello capace di efflusso supersonico dovrò utilizzare un convergente-divergente progettandolo in modo che la condizione alla fine del convergente sia M=1. Prova ad intuirne il motivo.

edit: caso particolare è il moto supersonico, dove bisogna sempre stare attenti agli effetti causati dalle onde supersoniche (irregolarità del moto, cambiamenti improvvisi delle grandezze caratteristiche, ecc...).

[Gi Zeta]

Prova ad intuirne il motivo.

Con M=1 presumo valgano le condizioni del tubo di Venturi, dunque la pressione diminuisce e aumenta la velocità; se il fluido alla fine del condotto convergente aveva M=1, dopo l' aumento di velocità raggiungerà M>1, ottenendo così l' efflusso supersonico desiderato.
Intendevi questo?

[bulldog89]

Sì, e se avessi M=1 nel tratto convergente

[Gi Zeta]

Paragonando le condizioni transoniche a quelle subsoniche: se nel condotto convergente ho M=1, in quello divergente la mia velocità diminuirà così da provocare un efflusso subsonico (M<1).

[bulldog89]

Perfect

[Gi Zeta]

Ragionando su un disegno, dopo aver ben chiare le "definizioni", trovo piuttosto intuitivo quanto detto, perchè se un fluido con un bassa velocità (supponiamo di chiamare "bassa" quella subsonica) deve passare da un condotto "grosso" ad uno più piccolo (convergente-divergente), ovviamente, poichè nella sezione finale del condotto convergente si accumulerà un' abbondante quantità di fluido, la sua pressione dovrà aumentare per riuscire a passare, e poichè aumenta la pressione, per la "Legge di Leonardo" (o "Principio di continuità" o "Principio di conservazione della massa) [riassumendo: roh*v*S=cost]), la sua velocità diminuirà.
Lo stesso ragionamento si può fare per il moto supersonico in entrata in un condotto convergente(divergente-convergente), poichè la velocità è alta (supersonica) un' elevata quantità di fluido si accumulerà nella sezione finale del condotto divergente e per "riuscire a passare" dovrà aumentare la sua pressione e, di conseguenza, diminuirà la sua velocità. E viceversa scambiando velocità e tipi di condotti.
Spero di non aver scritto troppe fesserie .
In ogni caso, grazie per l' aiuto Bulldog.

[bulldog89]

Con sti ragionamenti io mi impappino sempre Comunque occhio a "lento" e "veloce", perchè la velocità del suono varia in funzione della temperatura. Ragionando in atmosfera è ancora ancora accettabile, ma analizzando ad esempio un motore si rischia di fare casino.

Prego

[Gi Zeta]

Mi sono ancora di aver fatto un po' di confusione ieri: chiamavo transonico il regime con numero di Mach M=1, mentre con M=1 il regime è sonico.
Il regime transonico, in realtà, se ho capito bene, è una condizione di mezzo tra il regime subsonico e quello supersonico, definito come quella condizione in cui il mio M è compreso tra il Mach critico inferiore e il Mach critico superiore.

Regime "Ultrasonico" e "Ipersonico" sono due modi diversi di dire lo stesso "concetto"?